Wahrscheinlichkeiten

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Wie die Karten beim Online-Spielen gemischt werden

Während des Beta-Tests von Gang of Four Online mischten wir die Karten rein zufällig. Wir hatten also mehrere Gang of Four, wie die Wahrscheinlichkeits-Berechnung es uns erklärt hat. Unsere sehr erfahrenen Testspieler meinten jedoch, dass das nicht der Wirklichkeit entsprach. Deswegen haben wir das Mischsystem geändert, um uns der Wirklichkeit besser anzunähern:

  • Die Karten werden aufs Geratewohl für die erste Partie ausgeteilt.
  • In den folgenden Partien nehmen wir die Karten in der Folge auf, wie sie abgelegt wurden. Die Karten werden dann nach der Methode von "riffle-shuffle" wieder gemischt: Abheben in der Mitte und eine Mischung der zwei Stapel, indem man eine Karte vom ersten Stapel auf eine Karte des zweiten Stapel legt.
  • Die Karten werden dann in vier Hände wieder ausgeteilt, die man zufällig den Spielern gibt. Das heißt, die Karten werden verdeckt ausgelegt, und jeder Spieler erhält dann zufällig einen Stapel von Karten (bei vier Spielern vier Stapel mit je 16 Karten).

So ist die Anzahl von Gang of Four realistischer.

*Sehe die Arbeit von Persi Diaconis und David Aldous: "Shuffling cards and stopping times", American Mathematical Monthly, 1986

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein Gang of Four in seinem Spiel zu haben, nachdem man die Karten aufs Geratewohl gemischt hat? Sie ist ziemlich hoch: fast 30%! Hier sind die Erklärungen:

Die Regel basiert auf dem "hypergeometrischen Gesetz", das für Meinungsumfragen sehr oft benutzt wird. Es handelt sich um das zufällige Ziehen von Dingen (in unserem Fall Karten), ohne dass diese zurückgelegt werden.

Eine Kiste mit N Bällen, deren a rot sind. n Bälle werden gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, um k Rote zu haben, ist:

mit: 

(n! bedeutet n x (n-1) x (n-2)... d.h. 7!=7x6x5x4x3x2x1)

Was Gang of Four betrifft, macht es für ein Gang von zwei (N=64, a=6, k=4, n=16):

P(Gang von zwei) = 0,0274 d.h 2,7%

Wenn man alle Wahrscheinlichkeiten addiert (was eine gute Annährung ist, da die Ereignisse fast unabhängig sind), kommt man auf: 29,7%

Was noch interessant ist: die Wahrscheinlichkeit zu kalkulieren, dass die anderen Spieler ein oder mehrere Gang of Four haben, während Sie wissen, wie viele Gang of Four Sie selbst besitzen (vielen Dank an John für seine Berechnungen):

Anzahl von Gang of Four bei den anderen Spielern
0 1 2 3 4
wissend was Sie selbst auf der Hand haben:
0 35.8% 39.7% 18.7% 5.0% 0.7%
1 31.3% 39.2% 21.8% 6.4% 1.1%
2 26.3% 37.5% 25.2% 8.8% 1.8%
3 9.1% 31.8% 31.8% 22.7% 4.6%

Sie können also sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein anderer Spieler auch ein Gang of Four hat, wenn Sie schon eines haben, 39.7% ist! Desto mehr Gang of Four Sie haben, umso mehr Gang of Four besitzen die anderen. Das ist logisch, da das Spiel sich selbst sortiert, wenn dieser Fall eintritt.


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