Probabilités & Mélanges

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Mélange utilisé dans le jeu en ligne

Pendant la période de beta-tests de Gang of Four Online, nous faisions un mélange purement aléatoire, ce qui donnait un grand nombre de Gang of Four, conformément aux probabilités. Nos testeurs, joueurs ayant une grande expérience du jeu de carte, trouvèrent que cela n'était pas conforme à leur expérience personnelle. Nous avons donc changé le système de mélange des cartes, de façon à reproduire ce qui se passe dans la réalité :

  • Lors de la première partie, on distribue les cartes aléatoirement.
  • Lors des jeux suivants, on ramasse les plis dans l'ordre où ils sont tombés. On mélange alors les cartes en faisant un "riffle-shuffle"*, c'est à dire une coupe vers le milieu suivie d'un mélange des deux moitiés par insertion une sur deux.
  • On redistribue ensuite les cartes en quatre mains, que l'on affecte au hasard aux joueurs.

Ainsi, le nombre de Gang of Four engendrés est plus conforme à la réalité du jeu.

*Voir les travaux de Persi Diaconis et David Aldous : "Shuffling cards and stopping times", American Mathematical Monthly, 1986

Quelle est la probabilité d'avoir un Gang of Four dans son jeu après un mélange bien aléatoire ? Elle est assez grande : presque 30% de chance ! Voici pourquoi.

La règle à appliquer est celle de la "loi hypergéométrique", qui est beaucoup utilisée pour les sondages. Il s'agit des probabilités de tirage sans remise.

Soit une urne qui contient N boules dont a sont rouges. On tire n boules. La probabilité pour en avoir k rouges est :

avec : 

(n! signifie n.(n-1).(n-2)... Ainsi 7!=7x6x5x4x3x2x1)

Appliqué à Gang of Four, cela donne pour un Gang de deux (N=64, a=6, k=4, n=16):

P(Gang de deux) = 0,0274 soit 2,7%

Si on additionne toutes les probas (ce qui est une bonne approximation, car les évènements sont presque indépendants), cela donne : 29,7%

Un autre élément intéressant est de calculer la probabilité que les autres aient un ou plusieurs Gang of Four, sachant combien vous en avez en main (merci à John pour ces calculs):

Nombre de Gang of Four chez les autres joueurs
0 1 2 3 4
sachant que vous en avez en main:
0 35.8% 39.7% 18.7% 5.0% 0.7%
1 31.3% 39.2% 21.8% 6.4% 1.1%
2 26.3% 37.5% 25.2% 8.8% 1.8%
3 9.1% 31.8% 31.8% 22.7% 4.6%

Comme vous pouvez le constater, la probabilité pour que quelqu'un d'autre ait un Gang of Four quand vous en avez un est de 39,7% ! Vous remarquerez aussi que plus vous avez de Gang of Four en main, plus les autres en ont aussi. C'est logique, car le jeu va se trier tout seul.


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